导语：勇于进行教学反思  积极提升教学水平

上学期，学校倡导教师要勇于进行教学反思，反思可以从以下几个方面入手： (1)教学设计是不是恰当？(2)预设的目标是不是符合学生实际？(3)采用的教学方法是不是符合学生认知规律？(4)课堂节奏控制是不是游刃有余？(5)课堂气氛是不是和谐、学生学习兴趣有没有得到激发？(6)课堂效果是不是明显、学生能不能活学活用？要求老师们在回顾、梳理的基础上，进行总结、反思、探究和剖析，不断改进不足、发扬优点，进一步提高课堂教学水平。

活动开展以来，东校区共收到教学反思100余篇，经过多次筛选，选出了三篇非常优秀的文章。这三篇教学反思紧扣学校要求，结合个人教学实际，具有很好的借鉴作用。其中，杨田华老师的教学反思针对执教过的《数学归纳法》研讨课，在“教什么，怎么教，为什么这样教”三个方面，通过自己备课和集体备课的对比，写出了自己对于教学设计的感悟。现分享给大家：

《数学归纳法》的教学反思

数学学科教研室   杨田华

本学期执教数学研讨课《数学归纳法》，现就教学设计和课堂实施的情况做一下反思和总结，请专家给予批评指导。

我是按照“教什么，怎么教，为什么这样教”的思路来设计这节课的。第一次闭门造车式的教学设计，在试讲的时候很是失败，没有完成教学任务。试讲后，数学教研室的孙主任数学组及组内老师对这节课进行了研讨，手把手的让我重新进行教学设计。两次教学设计的情况如下：

教什么

第一次教学设计

（1）了解归纳法，理解数学归纳法的原理与实质，掌握数学归纳法证题的两个步骤。（2）会证明与正整数有关的等式命题。努力突破两大难点（1）数学归纳法的思想实质不易理解，具体表现在不了解第二个步骤的作用，不易根据归纳假设作出证明；（2）运用数学归纳法时，在“归纳递推”的步骤中不会证明具体问题的递推关系．会出现不会运用“假设当时，命题成立”这一条件，而直接将代入命题，便说命题成立，实质上是没有证明。

第二次教学设计

（1）借助游戏，具体实例归纳出数学归纳法的基本原理、步骤；

（2）能通过用数学归纳法对简单等式证明，体会数学归纳法的原理。

努力突破一个难点： 对数学归纳法原理的理解。突破这一难点，需从理论层面和具体实例入手进行教学设计。

修改的原因

第一次的教学设计，在一节课上需要解决两个难点，即一是理解数学归纳法原理，二是掌握数学归纳法的步骤，特别是要求学生理解数学归纳法的第二步证明递推关系。其实这也是把数学归纳法全部学完需要解决的问题，数学归纳法的学习按课标要求需要2课时，1课时解决2课时的问题显然是不可能的。基于此的教学设计，课堂上学生不明白，老师教的也很吃力，一节课算是白上啦。

修改后的教学设计，基于这是《数学归纳法》的第一课时，把需要解决的两个重点改为了一个，那就是理解数学归纳法原理。把数学归纳法的 “归纳递推”步骤中的证明递推关系的技巧放在下一节学习，这样就会让学生有充裕的时间感悟数学归纳法原理。为此制定两个目标：

目标1：借助游戏，具体实例归纳出数学归纳法的基本原理、步骤；这是从理论上对数学归纳法的原理理解。

目标2：能通过用数学归纳法对简单等式证明，体会数学归纳法的原理。这是从特殊的实例进一步体会数学归纳法原理，让学生在潜移默化中形成了解决与正整数有关问题的新方法——数学归纳法，进一步理解数学归纳法是如何实现把一个无限的问题转化为有限的步骤来解决的，感悟由特殊到一般，由有限到无限的化归思想，感受数学的美。

   怎么教

第一次教学设计

1、教会学生理解数学归纳法原理

借助多媒体展示的“多米诺骨牌”游戏，让学生观看，激发学生的学习兴趣的同时，给学生提供了一个蕴含数学归纳法原理的生动有趣的参照物。分析多米诺骨牌全部倒下的必须具备的条件，围绕“递推“这一中心，提出一连串的问题，引导学生积极思考，通过类比，从游戏中找到知识的生长点，进而抽象出数学归纳法原理的萌芽，揭示数学归纳法原理。把多米诺骨牌全部倒下的必须具备的条件看成三个步骤，让学生类比这三个步骤推证等差数列的通项公式。然后通过以上一个生活实例和一个具体的归纳法实例归纳出数学归纳法概念。

2、教会学生证明与正整数有关的等式命题。

示范例题

例 1 用数学归纳法证明：

师生共同用探究出的方法，教师主要引导学生参与讨论的内容是：

1 当时，证明的目标是什么？

2 当时，能否这样证明：

时，等式成立

学生讨论后自己作出答案，教师最后总结解题经验，形成用数学归纳法证明题的科学方法：

数学归纳法证明命题的两个步骤：

（1）n取初始值(例如)时命题成立;

（2）假设时命题成立，利用它证明时命题也成立。

 满足这两个条件后，命题对一切n均成立。

最后进行课堂评价，进一步巩固证题两个步骤学生对数学归纳法的理解从感性认识上升到理性认识。这个教学设计通过多米诺骨牌游戏，具体问题的解决，让学生了解数学归纳法产生的根源及其无穷递推的本质，提高观察能力，抽象概括的能力。通过类比推理的方法，让学生归纳出数学归纳法的基本原理，体会化归的数学思想方法。掌握数学归纳法证明与正整数有关数学命题的基本步骤。会用数学归纳法证明与正整数有关的简单数学命题。

第二次教学设计

第一阶段：感受问题情境，激发探究兴趣

设计三个小题，创设与自然数有关用学生现有知识不能解决的问题情景，激发学生探究新方法的兴趣。

第二阶段：体验生活实例，感悟数学归纳法原理

做游戏：

游戏规则：老师叫某同学的学号后，该同学起立，那么其他同学，如果学号紧挨在你的学号前边那位同学站起来了，请你也站起来。

设计三个游戏：游戏1：1号同学起立；

游戏2：5号同学起立。该两游戏目的体验数学归纳法的“归纳奠基”和“归纳递推”。

游戏3：请20号同学退出游戏，然后请1号同学起立，继续以上的游戏规则。该游戏的目的体验“归纳递推”的作用。

游戏后，围绕数学归纳法原理这一中心，提出一连串的问题，引导学生积极思考，通过命题的形式把生活化的问题转化成数学问题（也就是数学建模），然后用符号表示出游戏规则，（此即为数学归纳法中的“归纳递推关系”），接着用符号表示出三个游戏。感悟数学归纳法的三个步骤。

经过以上的游戏，学生对数学归纳法已经有了一个初步的印象，急待把此法用在解决“感受问题情景、激发学习兴趣”的那个问题。为此设计了模仿游戏规则，

验证等式

这样，通过类比，实现了从生活的问题到数学问题的过度。

第三阶段：引导学生概括, 形成科学方法

通过以上生活问题和数学问题的解决，学生已经具备了提升理念，形成数学归纳法科学理念的基础。继续进行合作探究环节：引导学生总结归纳，形成数学归纳法的概念。

在这一环节中，让学生充分进行展示分享，把共同体的研究成果向大家汇报，逐字逐句的修改学生自己形成的数学归纳法概念。理解数学归纳法的严密性、合理性，最终实现有感性认识到理性认识的飞跃，形成科学的概念。

第四阶段：巩固认知结构，充实认知过程

通过一道例题的讲解，示范用数学归纳法解题的步骤，进一步加深对数学归纳法本质的理解。

第五阶段：课堂评价，课堂评价设计了三个问题，分别从数学归纳法的三个步骤进行设计，第1题的设计意图：数学归纳法证明命题时，第一步中的第一个值不一定是1．第2题的设计意图：数学归纳法证明命题时不能没有第一步，因为它是归纳奠基．第3题的设计意图：数学归纳法证明命题时，两个步骤和一个结论，缺一不可．同时，归纳假设一定要用上．进一步熟练数学归纳法证明命题的步骤。

第六阶段：课堂小结（1）数学归纳法能够解决哪一类问题？

（2）数学归纳法证明命题的步骤是什么？

修改的原因

第一阶段：数学课应有数学的趣味，我觉得创设新课的情景，激发学习兴趣这一环节是保持学生数学长久兴趣不可缺少的步骤，他能激发学生的期待。

第1小题的目的是：因为在数学归纳法中，从“n=k到n=k+1”的一般性递推，可以看成一个独立的命题，设计这一课前题，从特殊的n=100到n=101的证明,为学生突破数学归纳法第二步中从“n=k到n=k+1”证明提供模仿的思路，在这儿埋下伏笔，又分散了难点。第2小题的目的是：体验不完全归纳法的到的结论不一定正确。第3小题的目的是：接上题进一步体验不完全归纳法可以的到一定的结论，但是不能证明，急需一种把无限的问题转化到有限的步骤解决的办法，能使学生真切、强烈地感受到证明和确认的必要，从而激发学生探究的欲望，这就为新课的继续创造了一种良好的氛围。

第二阶段：第一次的教学设计是让学生当观众，去观看视频，看“多米诺骨牌”的表演，从视觉中去感悟数学归纳法的原理，学生完全处在被动的地位，是被动的感悟，第二次的教学设计是学生亲自当演员，从学生亲身的体验和认知结构中寻找新知识的固着点和生长点，在新旧知识之间建立非人为的、实质性的联系，以求有效地进行数学化，并加深学生对数学归纳法原理形成过程与方法的理解．同时让学生认识到数学归纳法是“水到渠成、浑然天成的产物”。通过“站立游戏”现象分析与要点提炼，以及对这一数学问题的解决过程的体验，部分学生已有能力对这一模式的特征进行概括.

自己在表演中得到的体验远比观看别人的表演得到的启发要深刻。

第三阶段：让学生回顾总结，进一步理解“通过有限个步骤的推理，证明取所有正整数都成立”的情形，实现由感性到理性的飞跃，促进学生思维的正迁移，进一步发挥学生的主观能动性；教师引导，让学生锤炼数学概念的语言，使其更准确，更精练，更科学，使得概念系统化，要点化，得以内化，在学生原有的认知基础上形成清晰的认知建构。

第四阶段：这一阶段，发挥教师的引领、示范作用，使学生初识数学归纳法的运用，认识用数学归纳法证明命题的过程步骤。在应用的过程中理解数学归纳法.通过特殊实例的证明，进一步体验“奠基步骤”和 “归纳推理”哪一步都不能缺少，在新的认识指导下巩固证明有关自然数的命题时对数学归纳法的运用。

第五阶段：课堂评价，促使学生认识运用数学归纳法时，第一步和第二步分别起怎样的作用？它们之间有怎样的关系？我们能否去掉其中的一个？

第六阶段：数学归纳法是一种完全归纳法 ，它是在可靠的基础上，利用命题自身具有的传递性，运用“有限”的手段，来解决“无限”的问题．它克服了完全归纳法的繁杂、不可行的缺点，又克服了不完全归纳法结论不可靠的不足，使我们认识到事情由简到繁、由特殊到一般、由有限到无穷．其蕴含的数学思想方法有归纳的思想，递推的思想，特殊到一般的思想，有限到无限的思想方法．通过总结让学生进一步体验数学归纳法的神奇之效。

为什么这样教

第一次教学设计

皮亚杰的认知结构学说：“所有的认知结构，结构再构建，构成复杂的结构，不断发展。”数学知识不能从一个人迁移到另一个人，一个人的数学知识必须基于个人对经验的归纳、交流，通过反思来主动建构，这就是建构主义的数学学习观。如在多米诺骨牌游戏原理的提炼上都由学生自己讨论、归纳、总结而得出，在由多米诺骨牌游戏原理类比到数学归纳法的两步上也由学生自己提炼而成。

第二次教学设计

我国著名教育家陶行知先生早就指出：“我以为好的先生不是教书，不是教学生，乃是教学生学.” 也有人说：“一个普通的教师，是奉送真理，一个好的教师，则是教别人去发现真理”

修改的原因

第一次的教学设计理念有一定的借鉴意义，在此基础上进一步修改完善，得到了第二次的教学设计。运用数学归纳法证明与正整数有关的命题虽说只有两步，但是原理很抽象．新教材理念告诉我们，不能把教学过程当作方法的灌输，技能的简单操练.对方法作简单的灌输，学生必然疑虑重重．为什么必须是两步呢？假设成立有依据吗？学生学完数学归纳法后对这两点不能完全理解，只能依葫芦画瓢，在需要用数学归纳法时却想不起来，等等．为此，在教学设计中，设法进行强化数学归纳法产生过程的教学，由学生对站立游戏的原理进行讨论并自己提炼概括，然后由站立游戏的原理类比到数学归纳法的两步，并对数学归纳法的两步进行理论上的证明，加深了学生对数学归纳法的两步的理解，使学生对数学归纳法的理解更有深度和广度，这不仅培养了学生的自主学习，探究学习，合作学习的能力，而且也是引导学生发展创新能力的良机．由此不难确定本课教学重点为数学归纳法产生过程的分析,初步理解数学归纳法的原理;教学难点是数学归纳法中递推思想的理解,及用数学归纳法证明命题的两个步骤的理解. 运用数学归纳法证明与正整数有关的数学命题，两个步骤缺缺一不可。此外，数学归纳法的应用将重点放在下一课时完成。